AHS Distance Learning Check 2020
15. April 2020
Gerald Eder, BSc BA
Martin Hofbauer, BSc
Schuljahr 2019/20
©Hofeder Solutions OG
In Kooperation mit:
Vorwort
Liebe Lernende!
Die aktuelle Lage stellt viele von uns vor große Herausforderungen. Abgesagte Veranstaltungen,
leere Einkaufsstraßen und geschlossene Schulen sind für uns alle ein ungewohntes Bild. Für jene,
die eigentlich damit rechneten Anfang Mai ihre schriftliche Reifeprüfung abzulegen, verzögerte
und veränderte sich die Informationslage in den letzten Wochen gleich mehrmals. Nun scheint der
"Fahrplan" zur Reifeprüfung 2020 aber soweit zu stehen und beschränkt sich nach aktuellem Stand
- zumindest was den verpflichtenden Teil betrifft - auf drei schriftliche Klausuren, eine davon in
Mathematik.
Aus diesem Grund hat das Bildungsministerium heute ein Übungspaket - genannt "Distance
Learning Check" - veröffentlicht. Dieser Distance Learning Check besteht gänzlich aus früheren
Prüfungsangaben und kann somit als eine Art Probe-Matura verstanden werden. Leider finden sich,
wie vom Aufgabenpool bekannt, keine Lösungswege bei den Beispielen, lediglich ein Korrekturheft
mit Anweisungen für Lehrerinnen und Lehrer - das bringt Schülerinnen und Schülern aber meist
wenig beim Verstehen und Üben der Aufgaben.
Deshalb haben wir uns dazu entschlossen, diese Lücke zu füllen, wie wir es schon mit dem gesamten
AHS-Typ-1-Aufgabenpool getan haben. In diesem Heft finden Sie nun alle Aufgaben dieses Dis-
tance Learning Checks 2020 (Teil 1 und Teil 2) inklusive nachvollziehbarer Lösungswege. Damit
wollen wir alle Maturantinnen und Maturanten in Österreich unterstützen und möchten ihnen an
dieser Stelle auch alles Gute für ihre Matura in dieser (hoffentlich einmaligen) Ausnahmesituation
wünschen.
Wie immer haben wir versucht, ein gutes Verhältnis zwischen einfachen und kurzen Formulierungen,
aber trotzdem exakter Mathematik zu finden. Die Lösungen in diesem Heft stehen in keinerlei
Verbindung zum BMB, sie wurden eigenhändig von uns erstellt. Bei Abweichungen der Lösungser-
wartung (aufgrund von Tippfehlern etc.) sind weiterhin die Lösungen des BMB (verfügbar unter
www.srdp.at) gültig. Aus Platzgründen haben wir immer ein paar Aufgaben auf einer Seite
zusammengefasst. Somit ist dieses PDF druckbar ohne allzu viel Papier zu verschwenden und
eignet sich somit auch toll als Übung für den aktuellen Heimunterricht.
Natürlich haben wir versucht, alle Aufgaben fehlerfrei zu gestalten, aber es kann immer sein,
dass manchmal trotzdem (Tipp-)Fehler passieren und auch beim mehrmaligen Korrekturlesen
unentdeckt bleiben. Sollte ein Fehler entdeckt werden, zögert bitte nicht und meldet ihn uns unter
kontakt@hofeder.solutions, damit anderen Nutzern dieser Lernhilfe etwas Verwirrung erspart bleibt!
Damit bleibt uns nur noch, euch allen viel Erfolg und alles Gute zu wünschen!
Wien, 15.4.2020 Gerald Eder und Martin Hofbauer
Tipp: auf unserer Homepage (www.hofeder.solutions) sind zur Zeit auch die Lösungswege zu den
letzten drei Maturaterminen frei verfügbar. Außerdem ist die Bestellung des gesamten Skripts mit
allen über 700 Aufgaben und Lösungswegen aus dem offiziellen Aufgabenpool ohne Einschränkungen
weiterhin zeitnah möglich.
1
AHS Distance Learning Check zum Haupttermin 2020
Teil 1
Aufgabe 1 (Zahlenmengen).
Nachstehend sind Aussagen über Zahlen aus den Mengen Z, Q, R und C angeführt.
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Irrationale Zahlen lassen sich in der Form
a
b
mit
a, b ∈ Z
und b = 0 darstellen.
Jede rationale Zahl kann in endlicher oder periodischer
Dezimalschreibweise geschrieben werden.
Jede Bruchzahl ist eine komplexe Zahl.
Die Menge der rationalen Zahlen besteht ausschließlich
aus positiven Bruchzahlen.
Jede reelle Zahl ist auch eine rationale Zahl.
(Lösung auf Seite 14) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 2 (Mehrwertsteuer für Hörbücher).
Seit 2015 werden in Deutschland bestimmte Hörbücher statt mit 19 % Mehrwertsteuer (MWSt.)
mit dem ermäßigten Mehrwertsteuersatz von 7 % belegt.
Aufgabenstellung
Stellen Sie eine Formel auf, mit deren Hilfe für ein Hörbuch, das ursprünglich inklusive 19 % MWSt.
e x kostete, der ermäßigte Preis y inklusive 7% MWSt. berechnet werden kann!
(Lösung auf Seite 14) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 3 (Projektwoche).
An einer Projektwoche nehmen insgesamt 25 Schüler/innen teil. Die Anzahl der Mädchen wird mit
x
bezeichnet, die Anzahl der Burschen mit
y
. Die Mädchen werden in 3-Bett-Zimmern untergebracht,
die Burschen in 4-Bett-Zimmern, insgesamt stehen 7 Zimmer zur Verfügung. Die Betten aller 7
Zimmer werden belegt, es bleiben keine leeren Betten übrig.
Aufgabenstellung
Mithilfe eines Gleichungssystems aus zwei der nachstehenden Gleichungen kann die Anzahl der
Mädchen und die Anzahl der Burschen berechnet werden.
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!
x + y = 7
x + y = 25
3 ·x + 4 ·y = 7
x
3
+
y
4
= 7
x
3
+
y
4
= 25
(Lösung auf Seite 14) [0 / 1 Punkt]
2 www.hofeder.solutions
Aufgabe 4 (Vektoren).
In der Ebene werden auf einer Geraden in gleichen Abständen nacheinander die Punkte
A, B, C
und D markiert.
Es gilt also
−−→
AB =
−−→
BC =
−−→
CD
Die Koordinaten der Punkte A und C sind bekannt.
A = (3|1)
C = (7|8)
Aufgabenstellung
Berechnen Sie die Koordinaten von D!
(Lösung auf Seite 14) [0 /
1
/2/ 1 Punkt]
Aufgabe 5 (Rechter Winkel).
Gegeben ist eine Strecke AB im R
2
mit A = (3|4) und B = (−2|1).
Aufgabenstellung
Geben Sie einen möglichen Vektor
n ∈ R
2
mit
n
=
0
0
an, der mit der Strecke
AB
einen rechten
Winkel einschließt!
(Lösung auf Seite 14) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 6 (Gefälle einer Regenrinne).
Eine Regenrinne hat eine bestimmte Länge
l
(in Metern). Damit das Wasser gut abrinnt, muss die
Regenrinne einen Winkel von mindestens
α
zur Horizontalen geneigt sein. Dadurch ergibt sich ein
Höhenunterschied von mindestens h Metern zwischen den beiden Endpunkten der Regenrinne.
Aufgabenstellung
Geben Sie eine Formel zur Berechnung von h in Abhängigkeit von l und α an!
(Lösung auf Seite 14) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 7 (Stefan-Boltzmann-Gesetz).
Die Leuchtkraft L eines Sterns wird durch folgende Formel beschrieben:
L = 4 ·π · R
2
· T
4
· σ
Dabei ist
R
der Sternradius und
T
die Oberflächentemperatur des Sterns;
σ
ist eine Konstante
(die sogenannte Stefan-Boltzmann-Konstante).
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satzteile so,
dass eine korrekte Aussage entsteht!
Für verschiedene Sterne mit gleichem, bekanntem Sternradius
R
ist die Leuchtkraft
L
eine Funktion
❥
1
; es handelt sich dabei um eine
❥
2
.
❥
1
des Sternradius R
der Oberflächentemperatur T
der Konstanten σ
❥
2
lineare Funktion
Potenzfunktion
Exponentialfunktion
(Lösung auf Seite 15) [0 /
1
/2/ 1 Punkt]
www.hofeder.solutions 3
AHS Distance Learning Check zum Haupttermin 2020
Aufgabe 8 (Bewegung).
Ein Körper wird entlang einer Geraden bewegt.
Die Entfernung des Körpers (in Metern) vom Ausgangspunkt seiner Bewegung nach
t
Sekunden
sind in der nachstehenden Tabelle angeführt.
Zeit
(in Sekunden)
zurückgelegter
Weg (in Metern)
0 0
3 20
6 50
10 70
Der Bewegungsablauf des Körpers weist folgende Eigenschaften auf:
• (positive) Beschleunigung im Zeitintervall [0;3) aus dem Stillstand bei t = 0
• konstante Geschwindigkeit im Zeitintervall [3;6]
• Bremsen (negative Beschleunigung) im Zeitintervall (6;10] bis zum Stillstand bei t = 10
Aufgabenstellung
Zeichnen Sie den Graphen einer möglichen Zeit-Weg-Funktion
s
, die den beschriebenen Sachverhalt
modelliert!
(Lösung auf Seite 15) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 9 (Funktionsgleichung einer linearen Funktion).
Gegeben ist eine lineare Funktion f mit folgenden Eigenschaften:
• Wenn das Argument x um 2 zunimmt, dann nimmt der Funktionswert f(x) um 4 ab.
• f(0) = 1
Aufgabenstellung
Geben Sie eine Funktionsgleichung dieser linearen Funktion f an!
(Lösung auf Seite 15) [0 / 1 Punkt]
4 www.hofeder.solutions
Aufgabe 10 (Heizungstage).
Die Anzahl der Heizungstage, für die ein Vorrat an Heizöl in einem Tank reicht, ist indirekt
proportional zum durchschnittlichen Tagesverbrauch x (in Litern).
Aufgabenstellung
In einem Tank befinden sich 1500 Liter Heizöl. Geben Sie einen Term an, der die Anzahl
d
(
x
) der
Heizungstage in Abhängigkeit vom durchschnittlichen Tagesverbrauch x bestimmt!
(Lösung auf Seite 15) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 11 (Symmetrische Polynomfunktion).
Der Graph einer zur senkrechten Achse symmetrischen Polynomfunktion
f
hat den lokalen Tiefpunkt
T = (3| −2).
Aufgabenstellung
Begründen Sie, warum die Polynomfunktion f mindestens 4. Grades sein muss!
(Lösung auf Seite 15) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 12 (Sinusfunktion).
Für a, b ∈ R
+
sei die Funktion f : R → R mit f(x) = a ·sin(b ·x) für x ∈ R gegeben.
Die beiden nachstehenden Eigenschaften der Funktion f sind bekannt:
• Die (kleinste) Periode der Funktion f ist π.
• Die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Funktionswert von f beträgt 6.
Aufgabenstellung
Geben Sie a und b an!
(Lösung auf Seite 15) [0 /
1
/2/ 1 Punkt]
Aufgabe 13 (Leistungsverbesserung).
Drei Personen
A, B
und
C
absolvieren jeweils vor und nach einem Spezialtraining denselben
Koordinationstest. In der nachstehenden Tabelle sind die dabei erreichten Punkte angeführt.
Person A Person B Person C
erreichte Punkte vor dem Spezialtraining 5 15 20
erreichte Punkte nach dem Spezialtraining 8 19 35
Gute Leistungen sind durch hohe Punktezahlen gekennzeichnet. Wie aus der Tabelle ersichtlich ist,
erreichen alle drei Personen nach dem Spezialtraining mehr Punkte als vorher.
Aufgabenstellung
Wählen Sie aus den drei Personen
A, B
und
C
die beiden aus, die die nachstehenden Bedingungen
erfüllen!
• Bei der ersten Person ist die absolute Änderung der Punktezahl größer als bei der zweiten.
•
Bei der zweiten Person ist die relative Änderung der Punktezahl größer als bei der ersten
Person.
(Lösung auf Seite 16) [0 /
1
/2/ 1 Punkt]
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AHS Distance Learning Check zum Haupttermin 2020
Aufgabe 14 (Wasserstand eines Flusses).
Die Funktion
W
: [0; 24]
→ R
+
0
ordnet jedem Zeitpunkt
t
den Wasserstand
W
(
t
) eines Flusses an
einer bestimmten Messstelle zu. Dabei wird t in Stunden und W (t) in Metern angegeben.
Aufgabenstellung
Interpretieren Sie den nachstehenden Ausdruck im Hinblick auf den Wasserstand
W
(
t
) des Flusses!
lim
∆t→0
W (6 + ∆t) −W (6)
∆t
(Lösung auf Seite 16) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 15 (Kapitalsparbuch).
Frau Fröhlich hat ein Kapitalsparbuch, auf welches sie jährlich am ersten Banköffnungstag des
Jahres den gleichen Geldbetrag in Euro einzahlt. An diesem Tag werden in dieser Bank auch die
Zinserträge des Vorjahres gutgeschrieben. Danach wird der neue Gesamtkontostand ausgedruckt.
Zwischen dem Kontostand
K
i−1
des Vorjahres und dem Kontostand
K
i
des aktuellen Jahres besteht
folgender Zusammenhang:
K
i
= 1, 03 ·K
i−1
+ 5000
Aufgabenstellung
Welche der folgenden Aussagen sind in diesem Zusammenhang korrekt?
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Frau Fröhlich zahlt jährlich e 5.000 auf ihr Kapitalsparbuch ein.
Das Kapital auf dem Kapitalsparbuch wächst jährlich um e 5.000.
Der relative jährliche Zuwachs des am Ausdruck ausgewiesenen Kapitals ist größer als 3 %.
Die Differenz des Kapitals zweier aufeinanderfolgender Jahre ist immer dieselbe.
Das Kapital auf dem Kapitalsparbuch wächst linear an.
(Lösung auf Seite 16) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 16 (Differenzierbare Funktion).
Die nebenstehende Abbildung zeigt den Auss-
chnitt eines Graphen einer Polynomfunktion
f
.
Die Tangentensteigung an der Stelle
x
= 6 ist
maximal.
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die beiden für die gegebene Funktion f zutreffenden Aussagen an!
f
(6) = 0
f
(11) < 0
f
(2) < f
(10)
f
(6) = 0
f
(7) < f
(10)
(Lösung auf Seite 16) [0 / 1 Punkt]
6 www.hofeder.solutions
Aufgabe 17 (Bestimmen eines Koeffizienten).
Gegeben ist die Funktion f : R → R mit f(x) = a ·x
2
+ 2 mit a ∈ R.
Aufgabenstellung
Geben Sie den Wert des Koeffizienten a so an, dass die Gleichung
1
0
f(x)dx = 1 erfüllt ist.
(Lösung auf Seite 17) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 18 (Beschleunigung).
Die Funktion
a
beschreibt die Beschleunigung eines sich in Bewegung befindlichen Objekts in
Abhängigkeit von der Zeit t im Zeitintervall
[t
1
; t
1
+ 4]
. Die Beschleunigung
a
(
t
) wird in
m
/s
2
, die
Zeit t in s angegeben.
Es gilt:
t
1
+4
t
1
a(t)dx = 2
Aufgabenstellung
Eine der nachstehenden Aussagen interpretiert das angegebene bestimmte Integral korrekt. Kreuzen
Sie die zutreffende Aussage an!
Das Objekt legt im gegebenen Zeitintervall 2 m zurück.
Die Geschwindigkeit des Objekts am Ende des gegebenen Zeitintervalls
beträgt 2 m/s.
Die Beschleunigung des Objekts ist am Ende des gegebenen Zeitintervalls
um 2 m/s
2
höher als am Anfang des Intervalls
Die Geschwindigkeit des Objekts hat in diesem Zeitintervall um 2 m/s
zugenommen.
Im Mittel erhöht sich die Geschwindigkeit des Objekts im gegebenen Zeitin-
tervall pro Sekunde um 2 m/s.
Im gegebenen Zeitintervall erhöht sich die Beschleunigung des Objekts pro
Sekunde um
2
4
m/s
2
.
(Lösung auf Seite 17) [0 / 1 Punkt]
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AHS Distance Learning Check zum Haupttermin 2020
Aufgabe 19 (Histogramm).
Ein Betrieb hat insgesamt 200 Beschäftigte. In der nachstehenden Tabelle sind die Stundenlöhne
dieser Beschäftigten in Klassen zusammengefasst.
Stundenlohn x in Euro Anzahl der Beschäftigten
6 ≤ x < 10 20
10 ≤ x < 15 80
15 ≤ x < 20 60
20 ≤ x ≤ 30 40
Der Flächeninhalt eines Rechtecks im unten stehenden Histogramm ist der relative Anteil der
Beschäftigten in der jeweiligen Klasse.
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie im nachstehenden Histogramm die fehlende Säule so, dass die obigen Daten dargestellt
sind.
(Lösung auf Seite 17) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 20 (Statistische Kennzahlen).
Eine Datenliste wird um genau einen Datenwert ergänzt, der größer als alle bisher erfassten
Datenwerte ist. Zwei der unten stehenden statistischen Kennzahlen werden dadurch jedenfalls
größer.
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden statistischen Kennzahlen an.
Spannweite
Modus
Median
3. Quartil
Arithmetisches Mittel
(Lösung auf Seite 18) [0 / 1 Punkt]
8 www.hofeder.solutions
Aufgabe 21 (Schwätzwert für eine Wahrscheinlichkeit).
In einer Fabrik wird mithilfe einer Maschine ein Produkt erzeugt, von dem jeweils 100 Stück in
eine Packung kommen.
Im Anschluss an eine Neueinstellung der Maschine werden drei Packungen erzeugt. Diese Packungen
werden kontrolliert und es wird die jeweilige Anzahl darin enthaltener defekter Stücke ermittelt.
Die Ergebnisse dieser Kontrollen sind in der nachstehenden Tabelle zusammengefasst.
in der ersten Packung 6 defekte Stücke
in der zweiten Packung 3 defekte Stücke
in der dritten Packung 4 defekte Stücke
Die Fabriksleitung benötigt einen auf dem vorliegenden Datenmaterial basierenden Schätzwert für
die Wahrscheinlichkeit
p
, dass ein von der neu eingestellten Maschine erzeugtes Stück fehlerhaft ist.
Aufgabenstellung
Geben Sie einen möglichst zuverlässigen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit
p
an, dass ein von
der neu eingestellten Maschine erzeugtes Stück fehlerhaft ist!
(Lösung auf Seite 18) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 22 (Aussagen zu einer Zufallsvariablen).
Die Zufallsvariable
X
kann nur die Werte 10, 20 und 30 annehmen.
Die nachstehende Tabelle gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung
von X an, wobei a und b positive reelle Zahlen sind.
k 10 20 30
P (X = k) a b a
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Der Erwartungswert von X ist 20.
Die Standardabweichung von X ist 20.
a + b = 1
P (10 ≤ X ≤ 30) = 1
P (X ≤ 10) = P (X ≥ 10)
(Lösung auf Seite 18) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 23 (Massenproduktion).
Bei der Massenproduktion eines bestimmten Produkts werden Packungen zu 100 Stück erzeugt. In
einer solchen Packung ist jedes einzelne Stück (unabhängig von den anderen) mit einer Wahrschein-
lichkeit von 6 % mangelhaft.
Aufgabenstellung
Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit in dieser Packung höchstens zwei mangelhafte Stücke
zu finden sind!
(Lösung auf Seite 18) [0 / 1 Punkt]
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AHS Distance Learning Check zum Haupttermin 2020
Aufgabe 24 (Konfidenzintervall verkürzen).
Ein Spielzeuge produzierendes Unternehmen führt in einer Gemeinde in 500 zufällig ausgewählten
Haushalten eine Befragung durch und erhält ein 95-%-Konfidenzintervall für den unbekannten
Anteil aller Haushalte dieser Gemeinde, die die Spielzeuge dieses Unternehmens kennen.
Bei einer anderen Befragung von n zufällig ausgewählten Haushalten ergab sich derselbe Wert für
die relative Häufigkeit. Das aus dieser Befragung mit derselben Berechnungsmethode ermittelte
symmetrische 95-%-Konfidenzintervall hatte aber eine geringere Breite als jenes aus der ersten
Befragung.
Aufgabenstellung
Geben Sie alle n ∈ N an, für die dieser Fall unter der angegebenen Bedingung eintritt!
(Lösung auf Seite 19) [0 / 1 Punkt]
Teil 2
Aufgabe 25 (Polynomfunktion dritten Grades).
Gegeben ist eine Polynomfunktion dritten Grades
f
t
mit
f
t
(
x
) =
1
t
· x
3
−
2
· x
2
+
t ·x
. Für den
Parameter t gilt: t ∈ R und t = 0.
Aufgabenstellung
a) 1) A Geben Sie die lokalen Extremstellen von f
t
in Abhängigkeit von t an.
An der Stelle
x
=
t
gelten für die Funktion
f
t
die Gleichungen
f
t
(
t
) = 0,
f
t
(
t
) = 0 und
f
t
(t) = 2.
2) Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von f
t
bei x = t.
b) 1)
Geben Sie diejenige Stelle
x
0
in Abhängigkeit von t an, an der sich das Krümmungsverhalten
von f
t
ändert.
2)
Weisen Sie rechnerisch nach, dass das Krümmungsverhalten des Graphen von
f
t
an der
Stelle x = 0 unabhängig von der Wahl des Parameters t ist.
c)
Die Funktion
A
beschreibt in Abhängigkeit von
t
mit
t >
0 den Flächeninhalt derjenigen
Fläche, die vom Graphen der Funktion
f
t
und von der x-Achse im Intervall
[0; t]
begrenzt
wird. Die Funktion A: R
+
→ R
+
0
, t → A(t), ist eine Polynomfunktion.
1) Geben Sie den Funktionsterm und den Grad von A an.
2) Geben Sie das Verhältnis A(t):A(2 · t) an.
(Lösung auf Seite 19)
10 www.hofeder.solutions
Aufgabe 26 (Einsatz von Antibiotika).
Die Entwicklung einer Bakterienpopulation kann durch die Zufuhr von Antibiotika beeinflusst wer-
den, was letztlich durch die Giftwirkung von Antibiotika zum Aussterben der Bakterienpopulation
führen soll.
In bestimmten Fällen kann diese Entwicklung näherungsweise durch eine Funktion
B
:
R
+
0
→ R
beschrieben werden:
B(t) = b ·e
k·t−
c
2
·t
2
mit b, c, k ∈ R
+
t ... Zeit in Stunden
B(t) ... Anzahl der Bakterien in Millionen zum Zeitpunkt t
b ... Anzahl der Bakterien in Millionen zum Zeitpunkt t=0
k ... Konstante
c ... Parameter für die Giftwirkung
Aufgabenstellung
a) Die Funktion B hat genau eine positive Extremstelle t
1
.
1) Bestimmen Sie t
1
in Abhängigkeit von k und c.
2)
Geben Sie an, welche Auswirkungen eine Vergrößerung von c bei gegebenem k auf die
Lage der Extremstelle t
1
der Funktion B hat.
b)
Die Funktion
B
1
:
R
+
0
→ R
mit
B
1
(
t
) = 20
· e
2·t−0,45·t
2
beschreibt die Anzahl der Bakterien
einer bestimmten Bakterienpopulation in Millionen in Abhängigkeit von der Zeit t.
Zum Zeitpunkt
t
2
= 0 erreicht die Bakterienpopulation ihre ursprüngliche Anzahl von 20
Millionen.
1) A Geben Sie t
2
an.
2)
Deuten Sie
B
1
(
t
2
) im vorliegenden Kontext unter Verwendung der entsprechenden Einheit.
c)
Die Funktion
B
2
:
R
+
0
→ R
mit
B
2
(
t
) = 5
· e
4·t−
t
2
2
beschreibt die Anzahl der Bakterien einer
anderen Bakterienpopulation in Millionen, die zum Zeitpunkt
t
= 4 ihr Maximum aufweist.
1)
Bestimmen Sie denjenigen Zeitpunkt
t
3
, zu dem die stärkste Abnahme der Bakterienpopu-
lation stattfindet.
2)
Geben Sie an, wie viel Prozent der maximalen Anzahl an Bakterien zum Zeitpunkt
t
3
noch vorhanden sind.
(Lösung auf Seite 19)
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AHS Distance Learning Check zum Haupttermin 2020
Aufgabe 27 (Brasilien).
Brasilien ist der größte und bevölkerungsreichste Staat Südamerikas.
Im Jahr 2014 hatte Brasilien eine Einwohnerzahl von 202,74 Millionen.
Aufgrund von Volkszählungen sind folgende Einwohnerzahlen bekannt:
Jahr Einwohnerzahl
1970 94 508 583
1980 121 150 573
1991 146 917 459
2000 169 590 693
2010 190 755 799
Aufgabenstellung
a) 1) A
Geben Sie die Bedeutung der nachstehend angeführten Werte im Kontext der Ent-
wicklung der Einwohnerzahl an.
10
121 150 573
94 508 583
≈ 1, 02515
9
169 590 693
146 917 459
≈ 1, 01607
2)
Begründen Sie anhand der beiden angeführten Werte, warum man die Entwicklung
der Einwohnerzahl im gesamten Zeitraum von 1970 bis 2010 nicht angemessen durch eine
Exponentialfunktion beschreiben kann.
b) 1)
Geben Sie unter Annahme eines linearen Wachstums anhand der Einwohnerzahlen von
1991 und 2010 eine Gleichung derjenigen Funktion f an, die die Einwohnerzahl beschreibt.
Die Zeit t wird dabei in Jahren gemessen, der Zeitpunkt t = 0 entspricht dem Jahr 1991.
2)
Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Vorhersage des linearen Modells für das Jahr 2014
von dem in der Einleitung angegebenen tatsächlichen Wert abweicht.
c)
Für Brasilien wird für die Jahre 2010 bis 2015 jeweils eine konstante Geburtenrate b = 14,6
sowie eine konstante Sterberate d = 6,6 angenommen. Das bedeutet, dass es jährlich 14,6
Geburten pro 1 000 Einwohner/innen und 6,6 Todesfälle pro 1 000 Einwohner/innen gibt.
Die Entwicklung der Einwohnerzahl kann in diesem Zeitraum mithilfe der Differenzengleichung
x
n+1
=
x
n
+
x
n
·
1
1000
·
(
b−d
)+
m
n
beschrieben werden, wobei x die Anzahl der Einwohner/innen
im Jahr n beschreibt und
m
n
die Differenz aus der Anzahl der zugewanderten und jener der
abgewanderten Personen angibt. Diese Differenz wird als Wanderungsbilanz bezeichnet.
1)
Geben Sie die Bedeutung des Ausdrucks
x
n
·
1
1000
·
(
b −d
) im Kontext der Entwicklung
der Einwohnerzahl an.
2)
Berechnen Sie die maximale Größe der Wanderungsbilanz für den Fall, dass die Einwohn-
erzahl im Jahr 2015 gegenüber der Einwohnerzahl des Vorjahres maximal um 1 % größer
ist.
(Lösung auf Seite 20)
12 www.hofeder.solutions
Aufgabe 28 (Würfel mit unterschiedlichen Zahlen).
Gegeben sind die Netze von drei fairen Würfeln, deren Seitenflächen auf unterschiedliche Weise
mit verschiedenen Zahlen beschriftet sind. (Ein Würfel ist „fair“, wenn bei jedem Wurf unabhängig
von den anderen Würfen gilt: Die Wahrscheinlichkeit, nach einem Wurf nach oben zu zeigen, ist
für alle Seitenflächen gleich groß.)
Aufgabenstellung
a)
Herr Fischer wirft Würfel A zweimal. Die Zufallsvariable X gibt die Summe der beiden
geworfenen Zahlen an. Die Zufallsvariable X kann die Werte 2, 3, 4, 5 und 6 annehmen.
Frau Fischer wirft die Würfel A und B. Die Zufallsvariable Y gibt die Summe der beiden
geworfenen Zahlen an.
1) A Geben Sie für die Zufallsvariable Y alle möglichen Werte an.
Es gibt Werte der Zufallsvariablen, die bei Herrn Fischer wahrscheinlicher auftreten als bei
Frau Fischer.
2)
Geben Sie denjenigen Wert an, bei dem der Unterschied der beiden Wahrscheinlichkeiten
am größten ist, und berechnen Sie diesen Unterschied.
b)
Bei einem Spiel wird Würfel B dreimal geworfen. Der Einsatz des Spiels für eine Spielerin /
einen Spieler beträgt
e
2. Die jeweilige Auszahlung ist von der Summe der drei geworfenen
Zahlen abhängig und wird in der nachstehenden Tabelle teilweise angegeben.
Summe der drei geworfenen Zahlen Auszahlung an die Spielerin/ den Spieler
positiv 0
null 2
negativ ?
Eine Person spielt dieses Spiel fünfmal.
1)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau zweimal die Summe der drei
geworfenen Zahlen genau null ist.
2)
Berechnen Sie, welchen Betrag der Anbieter des Spiels für das Würfeln einer negativen
Summe höchstens auszahlen darf, um langfristig mit keinem Verlust rechnen zu müssen.
c)
Peter wirft den Würfel C 100-mal. Die Zufallsvariable Z beschreibt die Anzahl der gewürfelten
Sechser.
1) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von Z.
2)
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der geworfenen Zahlen größer als
350 ist.
(Lösung auf Seite 21)
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AHS Distance Learning Check zum Haupttermin 2020
Lösungen
Lösung zu Aufgabe 1.
Diese Darstellungsform als Bruch ist die Definition von rationalen Zahlen!
Rationale Zahlen sind als Brüche darstellbar, also als Division zweier ganzer Zahlen. Solche
Divisionen haben entweder endliche oder periodische Nachkommastellen.
Da Bruchzahlen rationale Zahlen sind und
Q ⊂ R ⊂ C
gilt, muss jede rationale Zahl auch
komplex sein.
In der Menge der rationalen Zahlen
Q
liegen positive und negative Brüche, also stimmt
diese Aussage nicht.
Rationale Zahlen sind zwar immer reell (Q ⊂ R), umgekehrt gilt dies jedoch nicht.
Lösung zu Aufgabe 2.
Der alte Preis
x
enthält den reinen Buchpreis (100 %) und die Mehrwertsteuer (19 %). Der neue
Preis
y
enthält immer noch den reinen Buchpreis und zusätzlich 7 % MWSt. Um
y
zu erhalten,
dividiert man also
x
durch 119 (um 1 % des Preises zu erhalten) und multipliziert anschließend
mit 107, also y =
x
119
· 107 (Kommaverschiebungen ändern das Ergebnis nicht, z.B.
x
1,19
· 1, 07).
Lösung zu Aufgabe 3.
Die Anzahl der Mädchen und Burschen zusammen ist nicht 7.
Die Anzahl der Mädchen und Burschen zusammen ist 25.
Die Anzahl der Mädchen wird mit 3, die Anzahl der Burschen mit 4 multipliziert, das
ergibt zu viele Personen.
Um
x
Mädchen in 3-Bett-Zimmern unterzubringen, sind
x
3
Zimmer nötig, dieselbe Logik
führt zu
y
4
Zimmern für die Burschen. Insgesamt sind 7 Zimmer verfügbar.
Die linke Seite ist korrekt (siehe Antwort 4), aber die Anzahl der Zimmer ist nicht 25.
Lösung zu Aufgabe 4.
Da die Abstände zwischen zwei benachbarten Punkten gleich sind, ist der Punkt
D
von
C
nur halb so weit entfernt wie der Punkt
A
(weil zwischen
A
und
C
ja noch
B
ist). Daher ist
D = C +
1
/2 ·
−→
AC =
7
8
+
1
/2 ·
4
7
=
9
11,5
.
Lösung zu Aufgabe 5.
Um einen Normalvektor zur gegebenen Strecke zu bekommen, muss zuerst der Richtungsvektor
−−→
AB
gebildet werden. Es gilt
−−→
AB
=
B − A
=
−2
1
−
3
4
=
−5
−3
. Durch Vertauschen der Koordinaten
und Ändern eines Vorzeichens entsteht der gesuchte Normalvektor
n
=
3
−5
. Alle Vielfachen dieses
Vektors schließen ebenfalls einen rechten Winkel mit der gegebenen Strecke ein und sind daher
auch korrekt.
Lösung zu Aufgabe 6.
Eine geneigte Regenrinne bildet mit dem (horizontalen) Boden ein rechtwinkeliges Dreieck. Die
Hypotenuse hat die Länge
l
und das obere Ende befindet sich
h
Meter über dem Boden. Dadurch
gilt sin α =
h
/l. Multipliziert man diese Gleichung mit l, erhält man für die Höhe h = l · sin α.
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Lösung zu Aufgabe 7.
Ist der Sternradius
R
bekannt, dann bleibt als einzige Variable die Oberflächentemperatur
T
(
π
und
σ
sind ja auch bekannte Werte). Und da
T
als Basis einer Potenz auftritt, handelt es sich um
eine Potenzfunktion.
❥
1
des Sternradius R
der Oberflächentemperatur T
der Konstanten σ
❥
2
lineare Funktion
Potenzfunktion
Exponentialfunktion
Lösung zu Aufgabe 8.
Zunächst können die vier Punkte aus der Tabelle in das
Koordinatensystem übertragen werden. Positive Beschleu-
nigung bedeutet eine Linkskrümmung des Graphen bis zum
Zeitpunkt 3. Bis zum Zeitpunkt 6 verläuft der Graph als
Gerade. Das Bremsen bedeutet eine negative, das heißt
Rechtskrümmung im letzten Intervall. So entsteht der
nebenstehende Graph.
Lösung zu Aufgabe 9.
Mit der Gleichung
f
(0) = 1 ist der Schnittpunkt mit der y-Achse gegeben, es ist
d
= 1. Die zweite
Information ist die Beschreibung eines Steigungsdreiecks, "zwei nach rechts, vier nach unten". Das
ist formal k =
∆y
∆x
=
−4
2
= −2. Die Funktionsgleichung ist dann f(x) = −2x + 1.
Lösung zu Aufgabe 10.
Die Funktionsgleichung einer indirekten Proportionalität (mit den vorgegebenen Bezeichnung aus
der Angabe) ist
d
(
x
) =
a
x
. Der Wert von
a
ist der Funktionswert bei
x
= 1 oder anders ausgedrückt,
die Menge Heizöl, die man verbrauchen müsste, um den Tank an einem Tag zu leeren. Das sind
a = 1500 Liter. Die Funktionsgleichung lautet daher d(x) =
1500
x
.
Lösung zu Aufgabe 11.
Die Funktion ist symmetrisch, also muss es einen weiteren Tiefpunkt
T
= (
−
3
| −
2) geben.
Es können aber nicht zwei Tiefpunkte nebeneinander liegen, also muss auch ein Hochpunkt
existieren (aus Symmetriegründen muss dieser auf der y-Achse liegen). Es gibt also mindestens drei
Extrempunkte. Damit dies möglich ist, muss die Gleichung
f
(
x
) = 0 mindestens drei Lösungen
haben, also dritten Grades sein.
f
selbst ist also mindestens vierten Grades (da beim Ableiten der
Grad um eins reduziert wird).
Lösung zu Aufgabe 12.
Die Periode gibt an, wie lange eine volle Schwingung dauert. Dauert eine volle Schwingung
π
Einheiten, dann passieren in einem Intervall der Länge 2
π
zwei volle Schwingungen, was dem Wert
von
b
entspricht. Die Amplitude
a
gibt die maximale Entfernung vom Zentrum der Schwingung
an. Erstreckt sich die ganze Schwingung über sechs Einheiten, so entfernt sie sich höchstens drei
Einheiten von ihrem Mittelpunkt, also gilt a = 3.
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Lösung zu Aufgabe 13.
Betrachtet man die Tabelle, kann abgelesen werden, dass sich Person
A
um drei,
B
um vier und
C
um 15 Punkte verbessert.
A
kann damit nicht die erste Person sein, da die absolute Änderung hier
am kleinsten ist. Die relative Verbesserung von
A
ist
8−5
5
= 0
,
6, die von
B
19−15
15
≈
0
,
27, und jene
von
C
35−20
20
= 0
,
75. Die einzig mögliche Auswahl ist damit
B
als erste und
A
als zweite Person,
da sonst immer eine der beiden Bedingungen verletzt ist.
Lösung zu Aufgabe 14.
Der dargestellte Bruch (ohne Limes) stellt einen Differenzenquotienten dar. Nämlich die durch-
schnittliche Veränderung des Wasserstands pro Stunde zwischen dem Zeitpunkt
t
= 6 und ∆
t
Stunden später. Wandert nun (aufgrund des Limes) ∆
t
gegen 0, wird der betrachtete Zeitraum
immer kleiner, bis man ein "unendlich kleines" Intervall um den Zeitpunkt
t
= 6 erhält. Dies
entspricht schließlich der Veränderung des Wasserstands genu zum Zeitpunkt t = 6.
Lösung zu Aufgabe 15.
Der gegebene Ausdruck enthält den Summanden 5.000, der einem jährlich eingezahlten
Betrag entspricht.
Würde es sich beispielsweise um einen Kopfpolster handeln, der keine Zinsen bringt, wäre
diese Aussage richtig. Da aber in dieser Aufgabe auch 3 % Zinsen pro Jahr dazukommen,
wächst der Betrag um mehr als e 5.000 pro Jahr.
Siehe Antwort 2. Die Zinsen betragen zwar genau 3 %, aber auch die jährliche Einzahlung
lässt das Kapital wachsen. Insgesamt ergeben sich so mehr als 3 %.
Mehr Geld bedeutet auch mehr Zinsen, also eine andere Differenz, wie sich durch ein
einfaches Beispiel zeigen lässt: angenommen, das Sparbuch ist leer. So entstehen zunächst
keine Zinsen, aber es kommen
e
5.000 von Frau Fröhlich hinzu. Der Kontostand ist also
e
5.000. Dieser Betrag erwirtschaftet Zinsen (
e
150) und wird dann von Frau Fröhlich
wieder um
e
5.000 erhöht. Zwischen den ersten beiden Beträgen (
e
0 und
e
5.000) ist eine
Differenz von
e
5.000, zwischen den nächsten beiden (
e
5.000 und
e
10.150) eine Differenz
von e 5.150.
Ist prozentuelles Wachstum im Spiel, kann ein Wert nicht mehr linear anwachsen.
Lösung zu Aufgabe 16.
Laut Angabe ist die Steigung bei
x
= 6 maximal, das bedeutet, es liegt ein Wendepunkt
vor, also ist auch die zweite Ableitung null.
Negative zweite Ableitung bedeutet eine Rechtskrümmung bei x = 11, die auch vorliegt.
Vor dem Wendepunkt bei x = 6 ist die Krümmung positiv, danach negativ. Jede positive
Krümmung ist größer als jede negative, also ist f
(2) > f
(10).
Ist die erste Ableitung gleich null, so liegt bestenfalls ein Extrempunkt vor, aber kein
Wendepunkt.
Die Steigung nimmt bis
x
= 6 zu, danach wieder ab. Da
x
= 7 näher an 6 ist als
x
= 10,
ist die Steigung bei x = 7 größer als jene bei x = 10.
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Lösung zu Aufgabe 17.
Wir berechnen das Integral:
1
0
f(x)dx = a ·
x
3
3
+ 2 · x|
1
0
=
a
3
+ 2.
So erhalten wir die Gleichung
a
3
+ 2 = 1. Lösen dieser Gleichung liefert das gesuchte Ergebnis
a = −3.
Lösung zu Aufgabe 18.
Zur Erinnerung: integriert man eine Beschleunigungsfunktion, erhält man Geschwindigkeit; integri-
ert man eine Geschwindigkeitsfunktion, erhält man die zurückgelegte Strecke.
Wie in der Einleitung erwähnt, müsste man für diese Aussage eine Geschwindigkeits- und
keine Beschleunigungsfunktion integrieren.
Da wir von keinem Zeitpunkt wissen, wie hoch die Geschwindigkeit des Objekts in diesem
Zeitpunkt war, können wir auch keine Aussagen über die Geschwindigkeit am Ende des
Zeitintervalls treffen.
Als Integral der Beschleunigung handelt es sich bei dem angegeben Wert nicht mehr um
eine Beschleunigung, sondern eine Geschwindigkeit, wie in der Einleitung bereits erwähnt.
Dies ist die einzige richtige Aussage. Wir wissen zwar nie etwas über den absoluten Betrag
der Geschwindigkeit, kennen aber sehr wohl die Änderung in diesem Intervall.
Da sich die Geschwindigkeit insgesamt um 2 m/s ändert und das Zeitintervall 4 s lang
ist, müsste die durchschnittliche Änderung der Geschwindigkeit pro Sekunde
2
4
= 0
,
5 m/s
betragen.
Wie in der Einleitung erwähnt, handelt es sich beim Integral der Beschleunigung um eine
Geschwindigkeit.
Lösung zu Aufgabe 19.
In Histogrammen entspricht der Flächeninhalt der Rechtecke immer dem relativen Anteil der
Personen in dieser Klasse (Bereich des Stundenlohns) an der Gesamtzahl an Personen. Für die
letzte Gruppe muss sich also ein relativer Anteil von
40
200
= 0
,
2 = 20%. Die Breite der Klasse (von
20 bis 30) ist mit 10 festgelegt. Damit der Flächeninhalt des Rechtecks 20% betragen soll, muss
die Höhe des Rechtecks also 2% betragen, da dann für den Flächeninhalt 10
·
2% = 20% erfüllt ist.
Die Lösung ist in folgendem Histogramm dargestellt:
(Die Prozentzahl muss nicht zwingend eingetragen werden; es genügt das Einzeichnen des Rechtecks)
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Lösung zu Aufgabe 20.
Die Spannweite gibt die Distanz (Differenz) zwischen Minimum und Maximum der Daten-
reihe an. Da der hinzugefügte Wert größer als alle bisherigen Warte ist, muss dieser Wert
das neue Maximum sein. Dieser ist auf jedenfall weiter vom Minimum entfernt als das
vorherige Maximum.
Der Modus gibt den häufigsten Wert der Datenreihe an. Da der neue Wert größer als alle
bisherigen Werte ist, muss er sich von allen bisherigen Werten unterscheiden. Somit ändert
dieser neue Wert den Modus nicht weil nach dem Hinzufügen kein Wert häufiger vorkommt
als vorher.
Der Median (teilt die Liste in zwei Hälften) kann, muss sich aber nicht ändern. Es wäre
zum Beispiel denkbar, dass in der Mitte der Datenliste sehr häufig der gleiche Wert liegt.
Dann würde sich der Median zwar verschieben, z.B. vom 17. Wert auf den Durchschnitt
zwischen dem 17. und 18. Wert. Wenn diese Werte jedoch gleich sind, ändert sich der
Median dadurch nicht.
Mit dem dritten Quartil verhält es sich genauso wie mit dem Median, siehe dazu die Antwort
zu Box 3 darüber.
Das arithmetische Mittel, also der Durchschnitt der Datenreihe, ändert sich jedenfalls, da
ein neuer größter Wert hinzugefügt wird. Dadurch wird auch das arithmetische Mittel auf
jeden Fall größer.
Lösung zu Aufgabe 21.
Da alle produzierten Stücke von derselben Maschine hergestellt wurden, können alle Erzeug-
nisse zusammengefasst werden: 13 fehlerhafte von insgesamt 300 Stück. Der relative Anteil der
fehlerhaften Stücke, kann als Schätzwert verwendet werden:
13
300
≈ 0, 0433 . . . =4, 33%
Lösung zu Aufgabe 22.
Die Verteilung ist symmetrisch, der Erwartungswert daher in der Mitte.
Das bedeutet, die Werte sind im Mittel 20 vom Erwartungswert entfernt. 10 und 30 liegen
aber näher an 20.
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1. Die Wahrscheinlichkeit
a
kommt aber zweimal
vor, daher ist 2a + b = 1.
Der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass
X
einen Wert von 10 bis 30 annimmt.
Da auch nur die Werte 10, 20 und 30 möglich sind, ist die Wahrscheinlichkeit 1.
Die linke Seite beschreibt das Eintreten einer Zahl
≤
10. Laut Tabelle ist dies
a
. Die rechte
Seite beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl eintritt, die mindestens 10 ist. Das
ist immer der Fall, also ist die Wahrscheinlichkeit 1. Es gilt aber a < 1.
Lösung zu Aufgabe 23.
Aufgrund der konstanten, unabhängigen Erfolgswahrscheinlichkeit ist dieses Problem binomi-
alverteilt mit n = 100 und p = 0, 06 (und damit 1 − p = 0, 94). Es ist dann
P
(
X ≤
2) =
P
(
X
= 0)+
P
(
X
= 1)+
P
(
X
= 2) = 0
,
94
100
+
100
1
·
0
,
06
1
·
0
,
94
99
+
100
2
·
0
,
06
2
·
0
,
94
98
,
was etwa 5,7 % ergibt.
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Lösung zu Aufgabe 24.
Da die Intervallbreite bei der zweiten Umfrage geringer ist, als bei der ersten, muss es sich um eine
Umfrage mit einer größeren Stichprobe (also größeres
n
) handeln, da die Vorhersage scheinbar mit
größerer Genauigkeit möglich ist. Da bei der ersten Umfrage 500 Personen befragt wurden, muss
das n der zweiten Umfrage also größer als 500 sein. ⇒ n > 500
Lösung zu Aufgabe 25.
a) 1) Die lokalen Extremstellen werden durch Lösen der Gleichung f
(x) = 0 berechnet.
Vorsicht bei Funktionen mit Parametern: t ist ein feste Zahl, x ist die Variable!
Es ist also
f
t
(
x
) =
3
t
· x
2
−
4
· x
+
t
. Durch Technologie-Einsatz oder mithilfe der großen
Lösungsformel erhält man
x
1
=
1
3
· t
und
x
2
=
t
. Um zu vermeiden, dass ein Sattelpunkt
fälschlicherweise als Extrempunkt angegeben wird, überprüfen wir mit der zweiten Ableitung:
Zunächst ist
f
t
(
x
) =
6·x−4·t
t
. Es ist dann
f
t
(
1
3
·t
) =
−
2
<
0 und
f
t
(
t
) = 2
>
0. Es ist damit
1
3
· t eine Maximum- und t eine Minimumstelle.
2)
Ist
f
t
(
t
) = 0, so ist
x
=
t
eine Nullstelle. Da die erste Ableitung dort ebenfalls 0, aber die
zweite Ableitung positiv ist, handelt es sich außerdem um eine lokale Minimumstelle (wie
wir auch in der Aufgabe davor berechnet haben). An der Stelle
x
=
t
befindet sich also ein
Tiefpunkt, der die x-Achse berührt.
b) 1)
Das Krümmungsverhalten ändert sich immer an den Wendestellen. Wir müssen dafür
also die Gleichung
f
t
= 0 lösen. Diese kann, weil sie linear ist, durch einfache Umformungen
gelöst werden und man erhält x
0
=
2
3
· t.
2)
Unabhängig von
t
zu sein bedeutet in diesem Zusammenhang immer (nicht nur für die
Krümmung), dass im entsprechenden Term kein
t
mehr enthalten ist. Wir rechnen dies nach:
f
t
(0) =
6·0−4·t
t
=
−4·t
t
=
−
4. Das Ergebnis enthält tatsächlich kein
t
mehr und ist damit
unabhängig von der konkreten Wahl des Parameters.
c) 1)
Die Funktion
A
soll den Flächeninhalt unter dem Graphen der Funktion
f
t
beschreiben.
Damit ist
A
das Integral von
f
im Intervall [0;t]. Mit Technologieeinsatz erhalten wir ganz
einfach A(t) =
t
0
f
t
(x)dx =
t
3
12
.
2)
Für das gesuchte Verhältnis, muss zuerst in die in c)1) gefundene Funktion eingesetzt
und anschließend dividiert werden. Es ist
A
(
t
) =
t
3
12
und
A
(2
· t
) =
(2t)
3
12
=
8t
3
12
. Es ist nun
ersichtlich, dass
A
(2
· t
) einen zusätzlichen Faktor 8 enthält und damit
A
(
t
) :
A
(2
· t
) = 1 : 8
gilt.
Lösung zu Aufgabe 26.
a) 1)
Die Extremstelle wird durch Nullsetzen der ersten Ableitung bestimmt. Wir differenzieren
also die Funktion
B
mithilfe der Kettenregel oder Technologie-Einsatz und erhalten
B
(
t
) =
b·
e
k·t−
c
2
·t
2
·
(
k−c·t
). Da Exponentialfunktionen keine Nullstellen haben, muss beim Nullsetzen
nur der Faktor in der Klammer berücksichtigt werden. Es ist also
k − c · t
= 0 und damit
t
1
=
k
c
.
Streng genommen müsste man diese Lösung noch auf Richtigkeit überprüfen. Da aber die
Angabe schon verrät, dass es nur genau ein lokales Maximum gibt, muss das unsere Lösung
sein.
2)
Betrachtet man die soeben bestimmte Lösung
t
=
k
c
als Funktion in Abhängigkeit von
c, erhält man eine indirekte Proportionalitätsfunktion. Diese besitzt die Eigenschaft, dass
durch Vergrößern der Variable der Funktionswert kleiner wird - und umgekehrt. Vergrößert
man also c, so wandert die Extremstelle nach links.
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b) 1)
Um den gesuchten Zeitpunkt zu erhalten, setzen wir den gegebenen Wert 20 (Millionen) als
Ergebnis in die Funktionsgleichung ein und lösen diese nach
t
auf: 20 = 20
·
e
2·t−0,45t
2
. Nach
Kürzen des Faktors 20 und Logarithmieren der Gleichung bleibt nur noch die quadratische
Gleichung 0 = 2
· t −
0
,
45
· t
2
. Mithilfe der großen Lösungsformel, des Produkt-Null-Satzes
oder geeigneter Technologie erhält man neben t = 0 die gesuchte Lösung t =
40
9
.
2)
Die erste Ableitung beschreibt - unabhängig von der gegebenen Funktion - immer die
momentane Veränderung an einer bestimmten Stelle. Berechnet wird diese als Limes des
Differenzenquotienten, also als Division des Unterschieds der Funktionswerte und des Unter-
schieds der x-Werte. In dieser Aufgabe ist das die Veränderung der Anzahl der Bakterien
(in Millionen) durch die verstrichene Zeit (in Stunden). Die gesuchte Interpretation ist also:
B
(
t
) beschreibt die Veränderung der Bakterienanzahl in Millionen Bakterien pro Stunde zu
einem bestimmten Zeitpunkt.
c) 1)
Die stärkste Abnahme (am steilsten fallende Stelle des Funktionsgraphen) ist die Stelle,
an der sich das Krümmungsverhalten der Funktion ändert, also ein Wendepunkt.
Dieser wird durch Lösen der Gleichung
B
(
t
) = 0 bestimmt. Um die wiederholte Anwendung
der Kettenregel zu umgehen, empfiehlt sich hier Technologieeinsatz, mit dem nach Eingabe
der Funktion B direkt die Lösung bestimmt werden kann. Diese lautet t
3
= 5.
2)
Um den noch vorhandenen Anteil der Bakterienpopulation bestimmen, verwenden wir die
Formel des Änderungsfaktors im Intervall [4;5] (bei
t
= 4 ist die Bakterienpopulation laut
Angabe maximal). Wir erhalten somit
p
=
B(5)
B(4)
≈
9040
14905
≈
0
,
61. Es sind also noch etwa 61
% der maximalen Anzahl vorhanden.
Lösung zu Aufgabe 27.
a) 1)
Setzt man zwei Bevölkerungszahlen durch Division miteinander in Verbindung, berechnet
man damit die relative Änderung der Bevölkerung in einem gewissen Zeitraum. Durch
entsprechendes Wurzelziehen wird das so genannte geometrische Mittel (also ein Durch-
schnittswert) über diesen Zeitraum berechnet. Der erste Ausdruck gibt somit das durch-
schnittliche Wachstum der brasilianischen Bevölkerung in den Jahren 1970 bis 1980 an - es
ist etwa 2,515 % pro Jahr. Analog dazu beschreibt der zweite Ausdruck das durchschnittliche
Wachstum der brasilianischen Bevölkerung im Zeitraum 1991 bis 2000 an (etwa 1,607 % pro
Jahr).
2)
Um eine Veränderung gut durch ein exponentielles Modell beschreiben zu können, muss
die relative Änderung über den ganzen Zeitraum im Schnitt annähernd konstant sein. Diese
unterscheidet sich aber in den 70er-Jahren und in den 90er-Jahren deutlich. Man muss die
restlichen Jahrzehnte damit gar nicht mehr durchrechnen, um sagen zu können, dass eine
Exponentialfunktion diese Entwicklung nicht gut abbilden kann.
b) 1)
Ein lineares Modell folgt der Funktionsgleichung
f
(
t
) =
k ·t
+
d
(analog zu
y
=
k ·x
+
d
),
wobei
d
den Wert zu Beginn der Beobachtung beschreibt und
k
die durchschnittliche (in
diesem Fall jährliche) Veränderung. Der Beginn der Beobachtung soll laut Angabe im Jahr
1991 sein, damit ist
d
= 146917459. Die Steigung kann mittels Differenzenquotient ermittelt
werden: k =
190755799−146917459
2010−1991
≈ 2307281.
Die gesuchte Gleichungs ist also f(t) = 2307281 · t + 146917459.
2)
Um die Bevölkerung im Jahr 2014 zu berechnen, muss der Funktionswert bei
x
= 23
berechnet werden (2014 - 1991 = 23 Jahre). Das sind also
f
(23) = 2307281
·
23 + 146917459
≈
199, 98 Millionen Menschen.
Dividiert man diesen Wert durch die tatsächliche Einwohnerzahl, erhält man
199,98
202,74
≈
0
,
986,
das entspricht einem Fehler von ca. 1 −0, 986 = 0, 014 = 1, 4%.
20 www.hofeder.solutions
c) 1) Der Vollständigkeit halber betrachten wir die ganze Differenzengleichung:
In einem bestimmten Jahr leben
x
n
Menschen in Brasilien. Dazu kommen in diesem Jahr
pro Tausend Bewohner
b −d
= 14
,
6
−
6
,
6 = 8 Menschen, das heißt, die Bevölkerung wächst
auf natürliche Art um
8
1000
, also um etwa 0
,
8%. Außerdem kommen von außen noch
m
n
Menschen durch Migration dazu (oder wandern ab, das hängt vom Vorzeichen der Zahl
m
n
ab).
Gesucht ist nur die Interpretation des mittleren Terms, also das Wachstum der Bevölkerung
um 0, 8% ihrer aktuellen Größe.
2)
Wir können einsetzen: Es ist
x
n+1
= 1
,
01
· x
n
(Wachstum um 1 % laut Angabe). Ebenso
sind
d
und
b
laut Angabe bekannt, es ergibt sich eine Differenz von 8. So erhalten wir
1
,
01
· x
n
=
x
n
+ 0
,
008
· x
n
+
m
n
. Umgeformt bedeutet das
m
n
= 0
,
002
· x
n
, also beträgt
die maximale Wanderungsbilanz 0,2 % der aktuellen Einwohnerzahl, das sind ungefähr
0, 002 ·202, 74 = 0, 4 Millionen Zuwanderer.
Lösung zu Aufgabe 28.
a) 1)
Um die möglichen Werte der Zufallsvariablen anzugeben, müssen alle möglichen Summen
aus Würfel A und Würfel B berechnet werden.
Es ist 1
−
1 = 0, 1 + 2 = 3, 1 + 5 = 6. Weiters ist 2
−
1 = 1, 2 + 2 = 4, 2 + 5 = 7. Schließlich
ist 3
−
1 = 2, 3 + 2 = 5 und 3 + 5 = 8. Wir erhalten alle ganzen Zahlen von 0 bis 8, das heißt
Y ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
2)
Bei Frau Fische tritt jeder Wert mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf, also gilt
p
=
1
9
. Bei
Herrn Fischer kann der Wert 4 = 1 + 3 = 3 + 1 = 2 + 2 auf drei verschiedene Arten gewürfelt
werden. Das ist öfter als alle anderen möglichen Werte. Damit ist hier der Unterschied der
Wahrscheinlichkeiten am größten.
b) 1)
Zunächst benötigen wir die Wahrscheinlichkeit, dass bei einmaliger Durchführung (= drei
Würfe) genau das gewünschte Ereignis (Augensumme gleich null) eintritt. Für dieses Ereignis
gibt es nur die Möglichkeit, dass zweimal eine "-1" und einmal eine "2" gewürfelt wird.
Wir erhalten somit:
P
(”
Augensumme
= 0”) = 3
·
1
3
·
1
3
·
1
3
=
1
9
. Nun handelt es sich um
eine binomialverteilte Zufallsvariable mit
n
= 5 und
p
=
1
9
. Die benötigte Wahrscheinlichkeit
können wir dann leicht berechnen:
P (X = 2) =
5
2
· (
1
9
)
2
· (
8
9
)
3
≈ 0, 087 = 8, 7%.
2)
Das Ereignis "die Augensumme ist negativ", kann nur durch dreimaliges Würfeln der
Zahl "-1" erreicht werden. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis beträgt
1
3
·
1
3
·
1
3
=
1
27
.
Um Verlust zu vermeiden, muss der Anbieter die erwartete Auszahlung unter 2 e (Einsatz)
halten. Dieser Sachverhalt kann in folgender Ungleichung festgehalten werden:
1
9
· 2 +
1
27
· x < 2. Mittels Technologieeinsatz ist es leicht die Lösung zu ermitteln: x < 48.
Die Auszahlung darf also maximal 48 e betragen.
c) 1)
Wir betrachten den Würfel C: es können nur die Zahlen 0 und 6 gewürfelt werden, und
zwar jeweils mit Wahrscheinlichkeit
1
2
. Das entspricht einem Münzwurf und damit einer
Binomialverteilung. Entsprechend ist der Erwartungswert
E
(
Z
) =
n ·p
= 100
·
0
,
5 = 50 und
die Standardabweichung σ(Z) =
n ·p ·(1 −p) =
√
100 ·0, 5 ·0, 5 = 5.
2)
Um mit Würfel C eine Summe über 350 zu erreichen, müssen
350
6
= 58
,
67, also 59 Sechser
geworfen werden. Wir suchen also
P
(
Z ≥
59). Da dies händisch zu lange dauern würde,
helfen wir uns mit dem Wahrscheinlichkeitsrechner von GeoGebra. Mit den Werten
n
= 100
und p = 0, 5 erhalten wir so P (Z ≥ 59) ≈ 0, 0443, also ungefähr 4,43 %.
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