Typ-1 Aufgaben & Lösungswege
Matura - Nebentermin 2 2018/19
14. Jänner 2020
Gerald Eder, BSc BA
Martin Hofbauer, BSc
Schuljahr 2018/19
©Gerald Eder, Martin Hofbauer
In Kooperation mit:
Vorwort
Liebe Lernende!
Wir begleiten seit vielen Jahren junge Menschen zur Matura. Dabei verwenden wir, genauso wie
unsere Schülerinnen und Schüler, die Aufgabenpools des Bundesministeriums für Bildung (BMB).
Und eine der häufigsten Fragen, die uns bei der Arbeit begegnet, ist - Stichwort Multiple-Choice:
"Warum stimmt diese Antwort, aber diese nicht?" Daraufhin haben wir uns ebenfalls eine Frage
gestellt: Warum werden für die BHS so ausführliche Lösungen zur Verfügung gestellt, aber für
AHS-Teil-1-Aufgaben nicht? So entstand im Sommer 2018 die Idee zu einem Projekt, den zukünfti-
gen Maturantinnen und Maturanten ein Skript zur Verfügung zu stellen, mit dem die einzelnen
Themen geübt und gleichzeitig die Inhalte besser verstanden werden können, weil die Lösungen
auch Erklärungen und Begründungen beinhalten, warum eine Antwort richtig oder falsch ist. Dabei
haben wir versucht, ein gutes Verhältnis zwischen einfachen und kurzen Formulierungen, aber
trotzdem exakter Mathematik zu finden. Das eigentliche Ergebnis dieses Projekts (Lösungen zu
allen Typ-1 Aufgaben des offiziellen Aufgabenpools des BMB) gibt es unter www.hofeder.solutions
zu erwerben.
Das nun vor euch liegende Heft beinhaltet alle Typ-1 Aufgaben der schriftlichen Reifeprüfung zum
Nebentermin 2 2018/19 vom 14. Jänner 2020 inklusive erklärter Lösungswege zu allen Beispielen.
Aus Platzgründen haben wir immer ein paar Aufgaben auf einer Seite zusammengefasst. Es sollte
jedoch trotzdem noch genug Platz vorhanden sein, um die Aufgaben zur Übung zu bearbeiten und
anschließend (falls notwendig) die Erklärung im hinteren Teil des Heftes zu lesen.
Die Lösungen in diesem Heft stehen in keinerlei Verbindung zum BMB, sie wurden eigenhändig
von uns erstellt. Bei Abweichungen der Lösungserwartung (aufgrund von Tippfehlern etc.) sind
weiterhin die Lösungen des BMB (verfügbar unter www.srdp.at) gültig.
Natürlich haben wir versucht, alle Aufgaben fehlerfrei zu gestalten, aber es kann immer sein,
dass manchmal trotzdem (Tipp-)Fehler passieren und auch beim mehrmaligen Korrekturlesen
unentdeckt bleiben. Sollte ein Fehler entdeckt werden, zögert bitte nicht und meldet ihn uns unter
info@hofeder.solutions, damit zukünftigen Nutzern dieser Lernhilfe etwas Verwirrung erspart bleibt!
Damit bleibt uns nur noch, euch allen viel Erfolg und alles Gute zu wünschen!
Gerald Eder und Martin Hofbauer
www.hofeder.solutions 1
Matura - Nebentermin 2 2018/19 (14. Jänner 2020)
Angaben
Aufgabe 1 (Äquivalente Gleichungen).
Gegeben ist die Gleichung
x
2
− 4 = 3 in x ∈ R.
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die beiden nachstehenden Gleichungen in
x ∈ R
an, die zur gegebenen Gleichung
äquivalent sind.
x − 4 = 6
x
2
= −1
x
2
− 3 = 4
x−8
2
= 3
x
2
− 4
2
= 9
(Lösung auf Seite 12) [0/1 Punkt]
Aufgabe 2 (Verkehrsunfallstatistik).
Die nachstehenden Angaben beziehen sich auf Straßenverkehrsunfälle im Zeitraum von 2014 bis
2016.
A ... Anzahl der Straßenverkehrsunfälle im Jahr 2014, davon a % mit Personenschaden
B ... Anzahl der Straßenverkehrsunfälle im Jahr 2015, davon b % mit Personenschaden
C ... Anzahl der Straßenverkehrsunfälle im Jahr 2016, davon c % mit Personenschaden
Aufgabenstellung
Geben Sie einen Term für die Gesamtanzahl N der Straßenverkehrsunfälle mit Personenschaden im
Zeitraum von 2014 bis 2016 an.
N =
(Lösung auf Seite 12) [0/1 Punkt]
Aufgabe 3 (Löwenrudel).
Ein Rudel von Löwen besteht aus Männchen und Weibchen. Die Anzahl der Männchen in diesem
Rudel wird mit m bezeichnet, jene der Weibchen mit w.
Die beiden nachstehenden Gleichungen enthalten Informationen über dieses Rudel.
m + w = 21
4 · m + 1 = w
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf dieses Rudel zutreffen.
In diesem Rudel sind mehr Männchen als Weibchen.
Die Anzahl der Weibchen ist mehr als viermal so groß wie die Anzahl der Männchen.
Die Anzahl der Männchen ist um 1 kleiner als die Anzahl der Weibchen.
Insgesamt sind mehr als 20 Löwen (Männchen und Weibchen) in diesem Rudel.
Das Vierfache der Anzahl der Männchen ist um 1 größer als die Anzahl der Weibchen.
(Lösung auf Seite 12) [0/1 Punkt]
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Aufgabe 4 (Quadratische Gleichung).
Gegeben ist die quadratische Gleichung x
2
+ r ·x + s = 0 in x ∈ R mit r, s ∈ R.
Aufgabenstellung
Ordnen Sie den vier Lösungsfällen jeweils diejenige Aussage über die Parameter r und s (aus A bis
F) zu, bei der stets der jeweilige Lösungsfall vorliegt.
Die quadratische Gleichung hat keine reelle
Lösung.
Die quadratische Gleichung hat nur eine
reelle Lösung x = −
r
2
.
Die quadratische Gleichung hat die reellen
Lösungen x
1
= 0 und x
2
= −r.
Die quadratische Gleichung hat die reellen
Lösungen x
1
= −
√
−s und x
2
=
√
−s.
A
r
2
4
= s
B
r
2
4
− s > 0 mit r, s = 0
C r ∈ R, s > 0
D r = 0, s < 0
E r = 0, s = 0
F r = 0, s > 0
(Lösung auf Seite 13) [0 /
1
2
/ 1 Punkt]
Aufgabe 5 (Parallele Gerade durch einen Punkt).
Im nachstehenden Koordinatensystem ist eine Gerade g abgebildet. Die gekennzeichneten Punkte
der Geraden g haben ganzzahlige Koordinaten.
Aufgabenstellung
Geben Sie eine Parameterdarstellung einer zu g parallelen Geraden h durch den Punkt (3
|−
1) an.
h: X =
(Lösung auf Seite 13) [0 / 1 Punkt]
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Aufgabe 6 (Räumliches Sehen).
Betrachtet man einen Gegenstand, so schließen die Blickrichtungen der beiden Augen einen Winkel
ein. In der nachstehend dargestellten Situation hat der Gegenstand G zu den beiden Augen
A
1
und A
2
den gleichen Abstand g. Der Augenabstand wird mit d bezeichnet.
Aufgabenstellung
Geben Sie den Abstand g in Abhängigkeit vom Augenabstand d und vom Winkel an.
g =
(Lösung auf Seite 13) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 7 (Gewinnfunktion).
Die unten stehende Abbildung zeigt eine lineare Kostenfunktion
K
:
x → K
(
x
) und eine lineare
Erlösfunktion E : x → E(x) mit x ∈ [0;6].
Für die Gewinnfunktion G : x → G(x) gilt für alle x ∈ [0;6]: G(x) = E(x) − K(x).
Aufgabenstellung
Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung den Graphen der Funktion G ein.
(Lösung auf Seite 13) [0 / 1 Punkt]
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Aufgabe 8 (Funktionale Zusammenhänge).
Gegeben ist die Gleichung w =
y·z
2
2·x
mit w, x, y, z ∈ R
+
.
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Betrachtet man z in Abhängigkeit von x, so ist
z : R
+
→ R
+
, x → z(x) eine Exponentialfunktion.
Betrachtet man w in Abhängigkeit von z, so ist
w : R
+
→ R
+
, z → w(z) eine quadratische Funktion.
Betrachtet man w in Abhängigkeit von x, so ist
w : R
+
→ R
+
, x → w(x) eine lineare Funktion.
Betrachtet man y in Abhängigkeit von z, so ist
y : R
+
→ R
+
, z → y(z) eine Polynomfunktion vom Grad 2.
Betrachtet man x in Abhängigkeit von y, so ist
x : R
+
→ R
+
, y → x(y) eine lineare Funktion.
(Lösung auf Seite 14) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 9 (Graph zeichnen).
Von einer linearen Funktion f sind nachstehende Eigenschaften bekannt:
• Die Steigung von f ist −0, 4.
• Der Funktionswert von f an der Stelle 2 ist 1.
Aufgabenstellung
Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen von
f
auf dem Intervall [-7;7] ein.
(Lösung auf Seite 14) [0 / 1 Punkt]
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Aufgabe 10 (Bruttogehalt und Nettogehalt).
Auf der Website des Finanzministeriums findet man einen Brutto-Netto-Rechner, der für jedes
monatliche Bruttogehalt das entsprechende Nettogehalt berechnet.
Folgende Tabelle gibt Auskunft über einige Gehälter:
Bruttogehalt in e 1500 2000 2500
Nettogehalt in e 1199 1483 1749
Aufgabenstellung
Zeigen Sie unter Verwendung der in der obigen Tabelle angeführten Werte, dass zwischen dem
Bruttogehalt und dem Nettogehalt kein linearer Zusammenhang besteht.
(Lösung auf Seite 14) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 11 (Verzinsung).
Ein Kapital K
0
wird auf einem Sparbuch mit 1 % p.a. (pro Jahr) verzinst.
Für die nachstehende Aufgabenstellung gilt die Annahme, dass allfällige Steuern und Gebühren
nicht gesondert berücksichtigt werden müssen und keine weiteren Einzahlungen oder Auszahlungen
erfolgen.
Aufgabenstellung
Berechnen Sie, in wie vielen Jahren sich das Kapital
K
0
bei gleichbleibendem Zinssatz verdoppelt.
(Lösung auf Seite 14) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 12 (Sinusfunktion).
Gegeben ist die Funktion f : R → R mit f (x) = a · sin(
π·x
b
) mit a, b ∈ R
+
.
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie in der nachstehenden Abbildung
a
und
b
auf der jeweiligen Achse so, dass der
abgebildete Graph dem Graphen der Funktion f entspricht.
(Lösung auf Seite 15) [0 / 1 Punkt]
6 www.hofeder.solutions
Aufgabe 13 (Differenzenquotient und Differenzialquotient).
Nachstehend ist der Graph einer Polynomfunktion
f
zweiten Grades abgebildet. Zusätzlich sind
vier Punkte auf dem Graphen mit den x-Koordinaten x
1
, x
2
, x
3
und x
4
eingezeichnet.
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die beiden auf die Funktion f zutreffenden Aussagen an!
Der Differenzenquotient für das Intervall [
x
1
;
x
2
] ist
kleiner als der Differenzialquotient an der Stelle
x
1
.
Der Differenzenquotient für das Intervall [
x
1
;
x
3
] ist
kleiner als der Differenzialquotient an der Stelle
x
3
.
Der Differenzenquotient für das Intervall [
x
1
;
x
4
] ist
kleiner als der Differenzialquotient an der Stelle
x
2
.
Der Differenzenquotient für das Intervall [
x
2
;
x
4
] ist
größer als der Differenzialquotient an der Stelle
x
2
.
Der Differenzenquotient für das Intervall [
x
3
;
x
4
] ist
größer als der Differenzialquotient an der Stelle
x
4
.
(Lösung auf Seite 15) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 14 (Bewegung).
Ein Körper startet seine geradlinige Bewegung zum Zeitpunkt t = 0.
Die Funktion
v
ordnet jedem Zeitpunkt
t
die Geschwindigkeit
v
(
t
) des Körpers zum Zeitpunkt
t
zu
(t in s, v(t) in m/s).
Aufgabenstellung
Interpretieren Sie die Gleichung
v
(3) = 1 im gegebenen Kontext unter Verwendung der entsprechen-
den Einheit.
(Lösung auf Seite 15) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 15 (Konzentration eines Arzneistoffs).
Einer Patientin wird täglich um 8:00 ein Arzneistoff intravenös verabreicht. Die Konzentration des
Arzneistoffs im Blut der Patientin am Tag t unmittelbar vor Verabreichung des Arzneistoffs wird
mit c
t
bezeichnet (c
t
in Milligramm/Liter).
Für t ∈ N gilt: c
t+1
= 0, 3 · (c
t
+ 4)
Aufgabenstellung
Interpretieren Sie den in der Gleichung auftretenden Zahlenwert 4 im gegebenen Kontext unter
Verwendung der entsprechenden Einheit.
(Lösung auf Seite 15) [0 / 1 Punkt]
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Matura - Nebentermin 2 2018/19 (14. Jänner 2020)
Aufgabe 16 (Graphen von Ableitungsfunktionen).
Unten stehend sind die vier Graphen der Funktionen
f
1
bis
f
4
sowie die Graphen von sechs
Funktionen (A bis F) abgebildet.
Aufgabenstellung
Ordnen Sie den vier Graphen der Funktionen
f
1
bis
f
4
jeweils denjenigen Graphen (aus A bis F)
zu, der die Ableitung dieser Funktion darstellt.
(Lösung auf Seite 16) [0 /
1
2
/ 1 Punkt]
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Aufgabe 17 (Eigenschaften einer Polynomfunktion).
Es sei f : R → R eine Polynomfunktion und a, b ∈ R mit a < b.
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satzteils so,
dass jedenfalls eine korrekte Aussage entsteht.
Wenn für alle
x ∈
(
a
;
b
)
❥
1
gilt, dann ist die Funktion
f
im Intervall (
a
;
b
)
❥
2
.
❥
1
f(x) > 0
f
(x) < 0
f
(x) > 0
❥
2
streng monoton fallend
rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt)
streng monoton steigend
(Lösung auf Seite 16) [0 /
1
2
/ 1 Punkt]
Aufgabe 18 (Bestimmte Integrale).
Nachstehend ist der Graph einer Polynomfunktion
f
mit den Nullstellen
x
1
=
−
1,
x
2
= 0,
x
3
= 2
und x
4
= 4 dargestellt.
Für die mit A
1
, A
2
und A
3
gekennzeichneten Flächeninhalte gilt:
A
1
= 0, 4, A
2
= 1, 5 und A
3
= 3, 2.
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die beiden Gleichungen an, die wahre Aussagen sind.
2
−1
f(x)dx = 1, 9
4
0
f(x)dx = 1, 7
4
−1
f(x)dx = 5, 1
2
0
f(x)dx = 1, 5
4
2
f(x)dx = 3, 2
(Lösung auf Seite 16) [0 / 1 Punkt]
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Matura - Nebentermin 2 2018/19 (14. Jänner 2020)
Aufgabe 19 (Histogramm).
Ein Betrieb hat insgesamt 200 Beschäftigte. In der nachstehenden Tabelle sind die Stundenlöhne
dieser Beschäftigten in Klassen zusammengefasst.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks im unten stehenden Histogramm ist der relative Anteil der
Beschäftigten in der jeweiligen Klasse.
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie im nachstehenden Histogramm die fehlende Säule so, dass die obigen Daten dar-
gestellt sind.
(Lösung auf Seite 17) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 20 (Statistische Kennzahlen).
Eine Datenliste wird um genau einen Datenwert ergänzt, der größer als alle bisher erfassten
Datenwerte ist. Zwei der unten stehenden statistischen Kennzahlen werden dadurch jedenfalls
größer.
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden statistischen Kennzahlen an.
Spannweite
Modus
Median
3. Quartil
Arithmetisches Mittel
(Lösung auf Seite 17) [0 / 1 Punkt]
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Aufgabe 21 (Grippe in Österreich).
Die Medizinische Universität Wien hat die Daten einer Grippe-Virusinfektion für eine bestimmte
Woche veröffentlicht. Dazu wurden Blutproben von Personen, die in dieser Woche an Grippe
erkrankt waren, untersucht. Von den 1954 untersuchten Blutproben waren 547 Blutproben mit
dem Virus A(H1N1), 117 Blutproben mit dem Virus A(H3N2) und die restlichen Blutproben mit
dem Virus Influenza B infiziert.
Aufgabenstellung
Verwenden Sie die obigen Häufigkeitsangaben als Wahrscheinlichkeiten und bestimmen Sie unter
dieser Voraussetzung die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte an Grippe er-
krankte Person mit dem Virus Influenza B infiziert ist.
(Lösung auf Seite 17) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 22 (Basketball).
Martin und Sebastian werfen beim Basketball nacheinander je einmal in Richtung des Korbes.
Martin trifft mit der Wahrscheinlichkeit 0,7 in den Korb und Sebastian trifft mit der Wahrschein-
lichkeit 0,8 (unabhängig davon, ob Martin getroffen hat) in den Korb.
Aufgabenstellung
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau einer der beiden Spieler in den Korb
trifft.
(Lösung auf Seite 17) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 23 (Drei Würfe mit einem Kegel).
Wirft man einen Kegel, kann dieser entweder auf der Mantelfläche oder auf der Grundfläche zu
liegen kommen.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Kegel auf der Grundfläche zu liegen kommt, beträgt bei
jedem Wurf unabhängig von den anderen Würfen 30 %.
Der Kegel wird im Zuge eines Zufallsexperiments dreimal geworfen. Die Zufallsvariable X be-
schreibt, wie oft der Kegel dabei auf der Grundfläche zu liegen kommt.
Die unten stehende Tabelle soll die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X angeben.
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die fehlenden Werte.
(Lösung auf Seite 18) [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 24 (Frühstück).
Im Rahmen einer Studie gaben 252 von 450 Jugendlichen eines Bundeslandes an, dass sie immer
frühstücken, bevor sie in die Schule gehen. Der Anteil dieser Jugendlichen wird mit h bezeichnet.
Der Anteil aller Jugendlichen dieses Bundeslandes, die immer frühstücken, bevor sie in die Schule
gehen, wird mit p bezeichnet.
Aufgabenstellung
Geben Sie auf Basis dieser Studie für p ein um h symmetrisches 95-%-Konfidenzintervall an.
(Lösung auf Seite 18) [0 / 1 Punkt]
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Matura - Nebentermin 2 2018/19 (14. Jänner 2020)
Lösungen
Lösung zu Aufgabe 1.
Um auf der rechten Seite der Gleichung von 3 auf 6 zu kommen, müsste die Gleichung
mit 3 addiert werden. Dann müssten wir jedoch auch die linke Seite der Gleichung mit 3
addieren. Das wurde hier aber nicht berücksichtigt.
Hier wurde (sinnvollerweise) scheinbar 4 auf der linken Seite addiert. Diese Addition müsste
- analog zu Antwort 1 - nun auch auf der rechten Seite durchgeführt werden. Das Ergebnis
auf der rechten Seite wäre dann jedoch 3 + 4 = 7 und nicht −1.
Diese Gleichung entspricht dem Resultat der Äquivalenzumformung +1. Das ist zum Lösen
der Gleichung zwar keineswegs sinnvoll, die resultierende Gleichung ist aber trotzdem zu
der in der Angaben äquivalent.
Hier wurde die 4 in der Angabe mit 2 erweitert und somit auf gemeinsamen Nenner gebracht.
Hier wurde die Gleichung tatsächlich gar nicht umgeformt und ist somit selbstverständlich
äquivalent.
Hier wird der Begriff der Äquivalenz entscheidend. Durch Quadrieren beider Seiten erhalten
wir zwar in der Tat die vorliegende Gleichung. In die andere Richtung funktioniert das
jedoch nicht, da
√
9
=
±
3 und somit nicht eindeutig die obige Gleichung ergibt. Somit
handelt es sich nicht um eine äquivalente Gleichung.
Lösung zu Aufgabe 2.
Um die gesamte Anzahl an Verkehrsunfällen mit Personenschaden der angegeben Jahre anzugeben,
müssen wir zunächst die absoluten Zahlen der jeweiligen Jahre berechnen und diese dann addieren.
Beispielsweise errechnen wir diese absolute Anzahl für das Jahr 2014 mit
A ·
a
100
, da a % der A
Verkehrsunfälle mit Personenschaden enden. (% = "Hundertstel")
Somit erhalten wir für alle drei Jahre: A ·
a
100
+ B ·
b
100
+ C ·
c
100
Lösung zu Aufgabe 3.
Da die Anzahl der Männchen, wie in Gleichung 2, sogar multipliziert und addiert werden
muss (vergrößert), muss die Anzahl der Männchen kleiner sein als die Anzahl der Weibchen.
Wir können sogar genau sagen, um wie viel die Anzahl der Weibchen größer ist als das
Vierfache der Männchen - nämlich um 1. Das ist exakt die Aussage von Gleichung 2.
Diese Aussage berücksichtigt den Faktor 4 in Gleichung 2 nicht.
Insgesamt sind es 21 Löwen, also mehr als 20.
Das Vierfache der Anzahl der Männchen ist - wie in Gleichung 2 beschrieben - noch immer
um 1 kleiner als die Anzahl der Weibchen und muss deshalb noch mit mit 1 addiert werden
um Gleichheit ("=") herzustellen.
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Lösung zu Aufgabe 4.
Damit eine quadratische Gleichung keine reelle Lösung besitzt, muss die Diskriminante
(hier
r
2
4
− s
) kleiner als 0 sein. Das ist für die angegebenen Fälle nur für
r
= 0 und
s >
0
möglich, da in diesem Fall
D
= 0
− s <
0 gilt, da eine Zahl von 0 subtrahiert wird, das
Ergebnis also negativ wird.
F
Genau eine reelle Lösung erhalten wir, wenn die Diskriminante (hier
r
2
4
− s
) gleich 0 ist.
Das ist äquivalent zu
r
2
4
= s. Die Lösung lautet in diesem Fall x = −
r
2
A
0 ist immer dann eine reelle Lösung wenn "der konstante Teil" (hier s) gleich 0 ist. E
Diese Lösungen erhalten wir für
r
= 0 in der Lösungsformel für quadratische Gleichungen.
Damit diese Wurzeln aber existieren (berechenbar sind), muss s kleiner als 0 sein, sonst
erhalten wir keine reelle Lösung (siehe dazu auch die Erklärung zu Lösung F).
D
[Hinweis: im Falle von 2 oder 3 korrekten Zuordnungen ist ein halber Punkt zu vergeben.]
Lösung zu Aufgabe 5.
Zum Aufstellen der Parameterdarstellung einer Geraden benötigen wir einen Punkt (wie hier
gegeben) und einen Richtungsvektor. Dieser Richtungsvektor stimmt mit dem Richtungsvektor der
abgebildeten Geraden g überein, da die Geraden parallel sein sollen.
Wir lesen also den Richtungsvektor von g ab und erhalten so beispielsweise
3
2
(parallele Vektoren
sind genauso möglich). Die Parameterdarstellung von h lautet also: X =
3
−1
+ t ·
3
2
.
Lösung zu Aufgabe 6.
Jeweils die Hälfte (egal ob untere oder obere) der Abbildung stellt ein rechtwinkliges Dreieck
dar. Da die Länge g mithilfe von d und
anzugeben ist, suchen wir einen Zusammenhang (eine
Gleichung) in diesen drei Variablen. In der Geometrie empfehlen sich hier meist Winkelfunktionen.
Da die beiden involvierten Längen (Seiten des Dreiecks) hier die Hypotenuse und die Gegenkathete
des Winkels darstellen, bietet sich die Sinusfunktion ("Gegenkathete durch Hypotenuse") an.
⇒ sin(
2
) =
d
/2
g
Diese Gleichung führt nach ein paar Umformungen (oder der Eingabe in ein CAS) zur Lösung:
g =
d
/2
sin(
/2)
=
d
2·sin(
/2)
.
Lösung zu Aufgabe 7.
Die beiden gegebenen Funktionen sind linear mit unterschiedlicher
Steigung. Die durch
G
(
x
) =
E
(
x
)
− K
(
x
) entstehende Funktion ist
damit ebenfalls linear und beschreibt den Abstand zwischen der
Kosten- und Erlösfunktion. Um eine lineare Funktion korrekt zu
skizzieren, reicht es, zwei Punkte der Funktion zu kennen, die wir
wie folgt ablesen können:
Bei
x
= 0 ist
E
drei Einheiten unter
K
, also ist
G
(0) =
−
3. Bei
x
= 5
schneiden sich die beiden Geraden, also wird bei dieser Absatzmenge
kein Gewinn erzielt, d.h.
G
(5) = 0. Verbindet man diese Punkte,
erhält man folgendes Bild des Graphen von G.
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Lösung zu Aufgabe 8.
z
(
x
) bedeutet, dass eine Funktion
z
von der Variable (x) abhängt. Man sollte daher in dieser
Aufgabe zuerst die Antworten 2 und 3 überprüfen, da man dafür keine Umformungen vornehmen
muss. Für die anderen muss auf die jeweilige abhängige Variable umgestellt werden.
Für die Funktion z erhält man z(x) =
2·w·x
y
, was einer Wurzelfunktion entspricht.
Die Variable
z
steht quadratisch im Zähler, was genau einer quadratischen Funktion
entspricht.
Die Variable
x
tritt zwar linear auf, aber im Nenner des Funktionsterms und erzeugt so
eine Hyperbel, keine lineare Funktion.
Wird auf
y
(
z
) =
2·w·x
z
2
umgeformt, steht
z
quadratisch im Nenner der Funktion. Das ist
keine Polynomfunktion zweiten Grades, da es einen negativen Exponenten im Polynom
gäbe, was nicht erlaubt ist.
Beim Umformen auf
x
(
y
) =
y·z
2
2·w
bleibt die gesuchte Variable
y
im Zähler mit Exponent 1,
was genau zu einer linearen Funktion passt.
Lösung zu Aufgabe 9.
Die zweite Eigenschaft ist
f
(2) = 1, was bedeutet, dass der Punkt (2
|
1) auf dem Graphen der
Funktion liegt. Die Steigung von
−
0
,
4 kann als Bruch der Form
∆y
∆x
=
−
2
5
dargestellt werden.
Das bedeutet, auf einer Entfernung von fünf Einheiten auf der
x
-Achse fällt der Graph um zwei
Einheiten auf der
y
-Achse. Dadurch ergibt sich zusammen mit dem Punkt ein Steigungsdreieck,
das zu folgendem Graphen führt:
Lösung zu Aufgabe 10.
Die Tabelle kann dann einen linearen Zusammenhang darstellen, wenn zu zwei gleich großen
Sprüngen beim Bruttogehalt auch zwei gleich große Sprünge beim Nettogehalt gehören. Das
Bruttogehalt springt jeweils um 500 Euro, das Nettogehalt aber einmal um 1483
−
1199 = 284
e
und einmal um 1749
−
1483 = 266
e
. Auch wenn es "nur" 18 Euro sind, es handelt sich um
ungleiche Sprünge, daher besteht kein linearer Zusammenhang.
Lösung zu Aufgabe 11.
Mehrjährige Verzinsung wird im Allgemeinen exponentiell berechnet. Es gilt daher der Zusammen-
hang
K
n
=
K
0
· a
n
, wobei das Anfangskapital
K
0
mit Aufzinsungsfaktor
a
über
n
Jahre verzinst
wird. Wenn sich das Kapital
K
0
verdoppelt, gibt es also ein
n
, so dass 2
· K
0
=
K
0
·
1
,
01
n
gilt.
Mit Technologie oder Anwendung der Rechenregeln für Logarithmen erhält man so
a ≈
69
,
7, also
etwa 70 Jahre.
14 www.hofeder.solutions
Lösung zu Aufgabe 12.
Der Parameter
a
entspricht der Amplitude, das ist die höchste Auslenkung der Funktion auf der
y
-Achse. Diese liegt bei zwei Einheiten. Der Parameter
π
b
steht für die Frequenz
f
und hängt mit
der Schwingungsdauer
T
durch die Gleichung
f
=
2·π
T
zusammen. Liest man
T
= 8 (Dauer eines
vollständigen Durchlaufs) aus der Grafik ab und setzt sie gemeinsam mit
f
=
π
b
in diese Gleichung
ein, erhält man als Lösung b = 4. Dies ist die erste positive Nullstelle des Graphen.
Lösung zu Aufgabe 13.
Beim Vergleich eines Differenzen- mit einem Differenzialquotienten muss nicht gerechnet werden.
Man muss lediglich die Steigung der Verbindungsgeraden vom Anfang zum Ende des Intervalls mit
der Steigung der Funktion an der angebenen Stelle verglichen werden, um die korrekten Antworten
zu finden.
An der Stelle
x
1
ist die Funktion zwar steiler als die Verbindungsgerade von
f
(
x
1
) zu
f
(
x
2
), aber beide Steigungen sind negativ. Der Differenzenquotient ist daher größer als der
Differenzialquotient.
Am Ende dieses Intervalls steigt die Funktion steiler als die Sekante im angegebenen
Intervall.
Im Gegensatz zur relativ flachen Steigung bei
x
2
ist die Verbindung von
f
(
x
1
) zu
f
(
x
4
)
klar steiler.
Die Tangente, die bei
x
2
an
f
gelegt werden kann verläuft klar flacher als die Sekanten im
Intervall [x
2
; x
4
].
Positiv gekrümmt steigende Funktionen weisen immer am Ende eines Intervalls die größte
Steigung auf. Da die Sekantensteigung ein Mittelwert dieser Steigungen ist, kann sie nicht
größer sein.
Lösung zu Aufgabe 14.
Die erste Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion eines Körpers beschreibt die Veränderung der
Geschwindigkeit, das ist die Beschleunigung. Diese wird (im einfachsten Fall) mit der Formel
Geschwindigkeit durch Zeit berechnet. Das ergibt die Einheit
m
s
2
. Die Gleichung beschreibt also,
dass die Beschleunigung zum Zeitpunkt 3 Sekunden gleich 1
m
s
2
ist.
Lösung zu Aufgabe 15.
Der Vollständigkeit halber und zum besseren Verständnis wollen wir die gesamte Gleichung inter-
pretieren:
c
t
bezeichnet laut Angabe die Konzentration des Arzneistoffs direkt vor der Verabreichung.
Durch die Klammersetzung wird nun zuerst 4 addiert, was bedeutet,
es werden 4 Milligramm
pro Liter der Arznei verabreicht
. Danach wird mit dem Faktor 0,3 multipliziert, was bedeutet
bis auf 30 % wird der gesamte Arzneistoff abgebaut, bevor am nächsten Tag alles von vorne beginnt.
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Matura - Nebentermin 2 2018/19 (14. Jänner 2020)
Lösung zu Aufgabe 16.
Die Funktion
f
1
ist eine Hyperbel, die im einfachsten Fall mit dem Term
x
−1
erzeugt
werden kann. Beim Ableiten entsteht der Term
−x
−2
, was zwei nach unten gerichteten
Ästen einer weiteren Hyperbel entspricht, wie in Funktion D dargestellt.
D
Bei der Funktion
f
2
handelt es sich um eine Funktion mit dem möglichen Term
−x
−2
,
der durch Differenzieren zu 2
x
−3
wird, welche wiederum ähnlich aussieht, wie
f
1
. Das
entspricht der Funktion C.
C
Die Funktion
f
3
ist streng monoton wachsend und augenscheinlich nur für positive Zahlen
definiert, da der Graph nur rechts der
y
-Achse verläuft. Das ist typisch für Logarithmus-
funktionen, beispielsweise
ln x
. Die erste Ableitung davon ist
1
x
, was erneut eine Hyperbel
darstellt, allerdings ebenfalls nur für positive x-Werte, daher Funktion F.
F
Der letzte Graph ist auf der ganzen Zahlengeraden definiert, ausschließlich positiv und
streng monoton wachsend mit der
x
-Achse als Asymptote. Das sind Eigenschaften einer
Exponentialfunktion, deren Verlauf sich beim Differenzieren nicht grundlegend ändert. Es
kann daher nur Funktion A korrekt sein.
A
[Hinweis: im Falle von 2 oder 3 korrekten Zuordnungen ist ein halber Punkt zu vergeben.]
Lösung zu Aufgabe 17.
Eine der Lückentexte, die sehr geradlinig zu lösen sind. Die drei Antwortmöglichkeiten für die
erste Lücke bedeuten der Reihe nach nur positive Funktionswerte, negative Steigung und positive
Krümmung. Von diesen dreien kann nur die negative Steigung der Eigenschaft streng monoton
fallend zugeordnet werden:
❥
1
f(x) > 0
f
(x) < 0
f
(x) > 0
❥
2
streng monoton fallend
rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt)
streng monoton steigend
[Hinweis: ein halber Punkt ist erreicht, wenn eine der beiden Textlücken korrekt gelöst ist.]
Lösung zu Aufgabe 18.
Wir berechnen der Reihe nach alle Integrale, indem wir die entsprechenden Flächeninhalte addieren.
Man muss dabei beachten, dass Flächen unterhalb der
x
-Achse mit einem negativen Vorzeichen in
die Rechnung einfließen.
2
−1
f(x)dx = A
1
− A
2
= 0, 4 − 1, 5 = −1, 1
4
0
f(x)dx = −A
2
+ A
3
= −1, 5 + 3, 2 = 1, 7
4
−1
f
(
x
)
dx
=
A
1
−A
2
+
A
3
= 0
,
4
−
1
,
5 + 3
,
2 = 2
,
1
2
0
f(x)dx = −A
2
= −1, 5
4
2
f(x)dx = A
3
= 3, 2
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Lösung zu Aufgabe 19.
Um die fehlende Säule einzutragen, benötigen wir noch ihre Höhe. Die Breite ist mit der Klassen-
breite (=10 weil die letzte Klasse alle Werte zwischen 20 und 30 beinhaltet) bereits definiert. Im
Endeffekt soll die Fläche der Säule dann die prozentuelle Häufigkeit an Beschäftigten innerhalb der
Klasse angeben. Diese ist mit
40
200
= 20% gegeben. Um eine Fläche von 20(%) zu erhalten, muss
die Höhe der Säule 2(%) betragen:
Lösung zu Aufgabe 20.
Da der neue Datenwert größer als alle bisherigen Werte (insbesondere als das vorherige
Maximum) ist, muss sich die Spannweite (Differenz zwischen Maximum und Minimum)
auch vergrößern.
Der Modus gibt den am häufigsten vorkommenden Wert in der Datenliste an. Da der neue
Wert größer als alle bisherigen Werte ist, wird sich die Häufigkeit (und somit auch der
Modus) der bisherigen Werte jedoch nicht ändern.
Der Median gibt "die Mitte" der Datenliste an. Diese kann sich zwar ändern, muss sie aber
nicht. Beispielsweise wenn in einer Liste mit 4 Werten die mittleren beiden Werte gleich
sind.
Hier gilt das gleiche wie für den Median in der vorherigen Antwort. Wenn um das dritte
Quartil mehrere Werte gleich sind, ändert sich diese Kennzahl nicht.
Das arithmetische Mittel wird gebildet indem die einzelnen Werte addiert und die Summe
dann durch die Anzahl der Werte dividiert wird. Da nun ein weiterer größerer Wert
hinzuaddiert wird, erhöht sich das arithmetische Mittel ("Durchschnitt").
Lösung zu Aufgabe 21.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann als Laplace-Wahrscheinlichkeit (Merkregel "günstige durch
mögliche") aufgestellt werden. Also müssen wir lediglich die Anzahl der an Influenza B erkrankten
Patienten mit der Gesamtanzahl an Patienten dividieren. Wenn wir von der Gesamtanzahl 1954 die
Patientenzahl der anderen beiden Erkrankungen abziehen, so erhalten wir 1954
−
547
−
117 = 1290.
Diese Anzahl müssen wir nun nur noch mit der gesamten Patientenzahl dividieren und erhalten so
die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
1290
1954
= 0, 66018 ≈ 0, 66.
Lösung zu Aufgabe 22.
Das Ereignis "genau einer der beiden Spieler trifft" setzt sich aus "Martin trifft, Sebastian aber nicht"
und "Sebastian trifft, Martin aber nicht" zusammen. Daher müssen wir die Wahrscheinlichkeiten
für diese beiden Ereignisse addieren. Die Wahrscheinlichkeiten zu diesen Ereignissen selbst setzen
sich dabei aus den Wahrscheinlichkeiten des Treffens bzw. nicht Treffens aus der Angabe zusammen.
Wir erhalten also:
P("Martin trifft, Sebastian aber nicht") = 0, 7 · 0, 2 = 0, 14.
P("Sebastian trifft, Martin aber nicht") = 0, 8 · 0, 3 = 0, 24.
⇒ P("genau einer der beiden trifft") = 0, 14 + 0, 24 = 0,38.
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Lösung zu Aufgabe 23.
Bei der beschriebenen Zufallsvariable X handelt es sich um eine binomialverteilte Zufallsvariable
(n mal wird das gleiche "Experiment" mit einer Wahrscheinlichkeit p durchgeführt). Daher genügt
es hier beispielsweise in GeoGebra den Wahrscheinlichkeitsrechner für die Binomialverteilung zu
nutzen. Die Parameter lauten laut Angabe
n
= 3 und
p
= 0
,
3. Anschließend kann leicht P(X=2)
und P(X=3) abgelesen werden.
Ohne CAS bzw. GeoGebra ist die Berechnung jedoch auch nicht allzu kompliziert. Wir müssen die
Parameter dazu lediglich in die Formel für die Binomialverteilung (sollte in jedem Formelheft zu
finden sein) P (X = k) =
n
k
· p
k
· (1 − p)
n−k
einsetzen und erhalten:
P (X = 2) =
3
2
· 0, 3
2
· 0, 7
1
= 0,189.
P (X = 3) =
3
3
· 0, 3
3
· 0, 7
0
= 0,027.
Lösung zu Aufgabe 24.
Die Formel für das Konfidenzintervall lautet p = h ± z ·
h·(1−h)
n
.
Mit
h
=
252
450
= 0
,
56 (relativer Anteil der Befragten),
n
= 450 (Anzahl der Befragten) und
z
= 1
,
96 (dieser Wert kann der Formelsammlung entnommen werden und ergibt sich aus dem
Konfidenzniveau 95%), errechnet sich
p
= 0
,
56
±
0
,
0458
...
, was einem Konfidenzintervall von
[0, 514; 0, 606] entspricht.
Dies kann auch in GeoGebra ermittelt werden durch GaußAnteilSchätzer(0.56, 450, 0.95).
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